leyes

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Conceptos matemáticos fundamentales

La ley de Coulomb

La ecuación fundamental de la electrostática es la ley de Coulomb, que describe la fuerza entre dos cargas puntuales Q_1 y Q_2. Dentro de un medio homogéneo como es el aire, la relación se expresa como:
\mathbf{F} = \frac{ Q_1Q_2}{4 \pi \varepsilon r^2}\hat{r}
donde F es la fuerza, \varepsilon es una constante característica del medio, llamada la « permitividad ». En el caso del vacío, se denota como \varepsilon0. La permitividad del aire es solo un 0,5‰ superior a la del vacío, por lo que a menudo se usan indistintamente.
Las cargas del mismo signo se repelen entre sí, mientras que las cargas de signo opuesto se atraen entre sí. La fuerza es proporcional al producto de las cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas.
La acción a distancia se efectúa por medio del campo eléctrico.

El campo eléctrico

El campo eléctrico (en unidades de voltios por metro) se define como la fuerza (en newtons) por unidad de carga (en coulombs). De esta definición y de la ley de Coulomb, se desprende que la magnitud de un campo eléctrico E creado por una carga puntual Q es:
\mathbf{E} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_o r^2}\hat{r}

.La ley de Gauss

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada dentro de la superficie. La constante de proporcionalidad es la permitividad del vacío.
Matemáticamente, la ley de Gauss toma la forma de una ecuación integral:
\oint\limits_S \ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = {1 \over \epsilon_o}\int\limits_V \rho \cdot \mathrm{d}V
Alternativamente, en forma diferencial, la ecuación es:
\mathbf{\nabla} \cdot \varepsilon_o \, \mathbf{E} = \rho

La ecuación de Poisson

La definición del potencial electrostático, combinada con la forma diferencial de la ley de Gauss, provee una relación entre el potencial Φ y la densidad de carga ρ:
{\nabla}^2 \phi = - {\rho \over \varepsilon_o}
Esta relación es una forma de la ecuación de Poisson.

Ecuación de Laplace

En ausencia de carga eléctrica, la ecuación es
{\nabla}^2 \phi = 0

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